いろいろな微分

Rⁿの話し

全微分

要するにTaylor展開による１次近似（= 線形写像としての近似）を考えている。
fがC1級のときfは全微分可能であるといい，以下が成り立つ。

この式の極限として以下を定義する。

上の定義による全微分は，適当な座標のもとで可能になるから，無限次元空間では使えない。

定理
　全微分可能　⇒　各変数で偏微分可能
　逆は必ずしも成り立たない！

方向微分

uを方向余弦とする。つまり，|u|2=1
fがC1級のとき，次の極限が存在して，右辺と一致する。

これをfのu方向への方向微分といい，Duf(a)とか，dfa(u)とかく。

曲線による定義
方向微分は，以下のように曲線を用いて定義することもできる。
即ち，t でパラメトライズされた曲線 x=γ(t) を考え，
これが γ(0)=a, γ'(0)=u を満たすとき，

多様体の話し

多様体上の写像の微分

多様体上の微分
接ベクトルも参照

Banach空間の話し

座標を想定することができないので，座標に依らない微分の定義が必要である。
また，微分を議論するためには，完備性が必要である。

Fréchet 微分　f'(a)

全微分の拡張。その正体はJacobi行列である。
　←fを線形作用素として近似しようというのが基本思想。
Banach空間XからYへの写像fに対し，有界線形作用素Tがあって，以下が成り立つとき，

fはaでFréchet微分可能であるといい，Tをf'(a)と書く。

定義：C1級
fがC1級であるとは，以下の写像φが連続写像になること。
φ : U (open ⊂X) → L(X,Y); x → f'(x)

定理（ヤコビ行列）
f'(a)はヤコビ行列で与えられる。


系（行列の微分）
1. 
2. 

定理
Fréchet 微分可能 ⇒ Gâteaux 微分可能

定理（逆関数定理）
X,Y : Banach Sp.
c ∈ U:open ⊂ X
f:U→Yが以下の条件を満たすとする。(以下スタブ)
　1.
　2.
　3.

系（陰関数定理の応用）



Xの各点aでdfaが全射になるとき，Mは

「1階微分係数を1次関数による近似ととらえるのは Frechet (1878–1973) に始まる。
　特に無限次元空間における微分法では，今でもFrechet 微分という語はよく使われている。」
（多変数の微分積分学１p50より引用）

Gâteaux 微分　D_uf(a), or df_a(u)

Banach空間に拡張した方向微分のこと。

座標軸方向への微分を特に，Gâteaux 偏微分という。

定理
fのGâteaux 微分 dfa(u)が以下を満たすとき，fはFrechet微分可能である。
　1. 
　2. 
ただし，L(X,Y)はXからYへの有界線形作用素の全体であり，作用素ノルムによって Banach空間である。
このとき，特に dfa = f'(a) が成り立ち，これを単にfの微分という。
つまり，微分とは有界線形作用素である。

劣微分

劣微分は凸関数のFrechet微分。発展方程式の理論などで使う。

弱微分

Sobolev空間で出てくる。
形式的な部分積分が弱収束すること。