いろいろな関数列

一様収束と各点収束

Ex. 一様収束する

Ex. 各点収束するけど一様収束しない。


Rem. この例では，区間を適当に限れば一様収束になる。

Ex. 各点収束するけど一様収束しない。(本質的)
u(x):unit step ft.

Ex. 概収束or各点収束するけど一様収束しない。
(0,1)の有理数に漏れなく番号をつけたものを {rn} とする。

これは f≡0に概収束し，特にDirichlet関数に各点収束するが，一様収束はしない。

Rem. 単調収束定理が使える
fnは単調増加列なので，単調収束定理によって f≡0 に概収束・ノルム収束することが分かる。

連続関数の列

Ex. 連続関数列が不連続関数に収束


※連続関数列は，一様収束すれば連続関数になる。

Ex. 連続関数列が微分可能でない連続関数に収束


※微分可能列は，導関数列が一様収束すれば再び微分可能で，しかも極限の微分は導関数列の極限と一致する。

可積分関数の列

Ex. 可積分の列が可積分にならない

Ex. 積分と極限の交換ができない

Ex. リーマン可積分の列がリーマン可積分にならない
[0,1]の全ての有理数に番号をつけたものを{rn}とする。

Cf. 高々可算個の不連続点をもつ有界関数はリーマン積分可能