さまざまな図形

位相空間

完備でない距離空間
 に絶対値距離  を入れた空間は完備でない。
なんとなれば，Qの列で，√2に収束する点列を考えればよい。

すべての部分集合が開かつ閉になる距離
X：set

この距離による開球を開集合とする位相を考えると，

となって，一点からなる集合が開集合となることが分かる。
従ってXの任意の部分集合は開集合になるから，任意の開集合の補集合は閉であると同時に再び開である。
これは離散位相になっている。

位相幾何学者の正弦曲線
 のグラフは連結だが弧状連結でない。

多様体

多様体でない曲線
自己交叉をもつ曲線は可微分多様体にならない。

円と楕円の違い
可微分多様体としては同じ（微分同相）
Riemann多様体としては別物（距離構造が違う）

Riemann多様体
可微分多様体に距離を入れたもの。
具体的には，各接空間毎に内積を入れる（これをリーマン計量という）。