テンソル積

Def.
K : Field
X_1, ..., X_n, V : Linear space on K

(k,V) is called a tensor product of X_1, ..., X_n when below holds
1. 
2. for any linear space W on K
   
   s.t. 

慣例により、次のように書く。


この記法は、テンソル積の同型を除いて一意である。

Ex.




実際、K^NとK^Mの標準基底によって

と書くと、

従って、kの正体は

を基底ベクトルとする単結合であるから、定義の1を満たす。

さらに、任意の線型空間Wに値をとる2重線型写像Φ(x,y)を一つとる。

として、

となるものをとると、

となって、所望のTが得られる。Tの作り方はΦの取り方に依らないから、これで定義の2が満たされた。

n重線型写像との付き合い方

通常の線型写像の場合
V, W : Linear space on K
dim V = N, dim W = M

V の基底 e_i として、Im Φ は次のようにして調べるのが手っ取り早い。

つまり、基底の行き先さえ調べてしまえば、あとは線形性から決まってしまうのである。

n重線型写像でも同じ
X_1, ..., X_n, W : Linear space on K
dim X_i =: d_i

X_i の基底を  として、

とおけば、これらが基底ベクトルの行き先であり、

抽象的なn重線型写像が、Vの基底群からWの部分空間の生成系への橋渡しをしているということ。