ルベーグ積分の小技

可積分関数は単関数で近似する
単関数で証明しておいて，一般の場合は単調収束定理に持ち込む。

測度と積分の橋渡し
1. 
2. (応用)チェビシェフ不等式

可測関数fがLpの元であることを示す
f:可測関数，g:Lp関数
 を示せばよい。
実際，このとき

となって，fもLpで可積分となることが分かる。

Lpから別のLrを作り出す
 に対して，
なんとなれば，以下の変形から従う。

積分を見たら
かけて同じならガンガン移りあえる。

とする。

とくに，

さらに，ならば，Hölderの不等式によって，

共役指数の使い方
逆数で考えるとよい。
特に，
 が  を満たしているとき，
 が成り立つ。
つまり，は互いに共役な指数になる。

Lp関数に収束することを示す。
なので，
を示せばよい（L1関数への収束に帰着）。

概収束を示す。
fn→f を満たす点の集合は次のように書ける。

あるいは，収束先fを出さない場合は次のようになる。


集合列から互いに素な列を作る

このとき，Fjは互いに素な集合列で，しかも次を満たす。
1. 
2. 

Ejが単調増加列なら， と置くだけで同じ意味になる。

減少列から増加列を作る。
 とおけばよい。補数をとるようなもの。