上限の特徴付け

 が S の上限であるとは，
1. 
2. 

sup とは，実数の部分集合に対して定義される，実数値集合汎関数である。

従って特に，以下のような書き方に惑わされないように注意する。

関数の場合

定義の右辺に現れる "sup" は実数の部分集合に対して定義された sup であることに注意。

 区間
 と分かったら

 必ずしも等号にはできない！

一般の集合の場合