内積一定という条件

以下の制約条件を考える。
a, b : fix

この条件で何かを考えることは、
次のような空間上で何かを考えていることになる。

制約式が一本だから、H は (n-1)次元多様体になることが分かる。

さらに H は(n-1)次元アフィン空間であることが分かる。
実際、x は次のように陽に表すことができる。

aの直行補空間は線形空間であるから、
線形空間の元を定数だけ平行移動して得られる x の全体はアフィン空間である。

特に、b=0 のとき H は a の直行補空間そのものである。

ここで次のような線形写像を考える。

x は次のようにも書けることが分かる。

即ち、x は線形空間の凖同型Aが定める商空間  の元（の切断）なのである。

勿論同じことだが、x はもとの空間を a の直交補空間で割った空間の元（の切断）と考えても同じである。