切断と引き込み

ファイバーバンドルについても参照

線形代数での例

レトラクションは、から
いくつかの(全てでなくて良い)成分ベクトルを取り出す写像。
射影っぽいけど、射影行列ではないことに注意。
射影行列は成分ベクトルを与えるわけではなく、射影空間の元を与える。

切断は、成分ベクトルを適当な空間の元として実現する写像

特異値分解に表れる
列直交行列は、
成分ベクトルに作用して
p次元空間の元を作り出すので、切断。

これに対するレトラクションは共役行列で与えられる。
実際、これはp次元空間のベクトルに
作用して(単位ベクトルで内積をとるので成分が出てくる)、
はじめのr個の成分を取り出して並べたベクトルを作る行列である。
成分を取り出すだけなので、射影行列ではない。

なお、はp次元空間の元の成分を削って再びとしてp次元空間の元に戻す写像であるから、これが射影行列である。

商集合X/~の自然な射影pとする。
X/~の各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。

切断は一般の全射に対して定義される。

Lem.
 map

このときfは全射で，gは単射である。
また特に， は冪等 idempotent である。←つまり，射影である。

Rem.
上の定理の条件が成り立っているとき，f,gはsplit（分裂）であるといい，
fをgのretraction（引き込み），gをfのsection（断面，切断）という。
また，fはgの左逆写像，gはfの右逆写像ともいえる。

この事実（f,g分裂⇒f全射かつg単射）の逆（f全射⇒g単射が存在して，f,g分裂）を示すには選択公理が必要
Th.  空でない集合X,Yに対し， が全射であるとする。
このとき， なる が存在する。
つまり，全射に対して切断（右逆写像）は常に存在する。

Cor. 
(i) sは単射
(ii) さらに  ならば，
つまり，切断とはプレ逆写像とでも言うべきもの。逆像ではない。

逆像との関係としては，次が成り立つ。

自然な射影の切断との関係
f全射をとると，fによる同値関係~fが定義できて，商集合X/~fの自然な射影pに対して
切断sを考えることができるが，これはfに対する切断s'と同一視することができる。

先の定理の双対として，次が成り立つ。
Th. 空でない集合X,Yに対し， が単射であるとする。
このとき， なる が存在する。
つまり，単射に対して引き込み（レトラクション，左逆写像）は常に存在する。