勾配は接平面に直行する

 スカラー場
 等位面
 等位面内の曲線

このとき，恒等的に  となるので，これをtで微分する。

⇔ 

は各点における接ベクトルとなっているから，
逆に次のようなものを考えると，等位面の点Pにおける接平面となる。

先の議論から任意のに対し 
従って各点Pにおける勾配の値はPにおける等位面の法ベクトルである。