数空間への写像を関数(function)という。
ベクトル空間Vから係数体Kへの写像  を形式(form)という。
特にVとして関数空間をとっている場合は，汎関数(functional)ともいう。

以下では，
 field
 m-dim vector space on K
とする。

一次形式，線形形式 linear form

一次形式の全体はふたたびベクトル空間になり，これを双対空間(dual space)という。

双一次形式 bilinear form

内積の一般化

後述する(0,2)-tensorである。

内積の公理参照
正定値(⇒対称)かつ非退化な双一次形式が狭義の正定値内積である。
有限次元では必ず、適当な行列Aをとって次のように表現できる。

2-form
歪対称(skew-symmetric)双一次形式

多重線形形式 multi linear form

 (r,s)-tensor space
テンソル空間になる。
テンソル積の成分計算参照

テンソル積の作り方
 ←線形形式に代入するという操作で，線形空間の元xを線形形式fに対する線形形式f→x[f]:=f(x)と同一視する。
 ←線形形式はそのまま関数と思ってればおｋ
 ←要するにただの掛け算

外積代数
歪対称多重線形形式の全体を外積べきという。
各次元の直和をとって，異なる次元どうしの外積まで拡張したものを，外積代数という。

二次形式 quadratic form

ノルムの一般化
双一次形式において、y=xとしたもの。
有限次元では必ず、適当な行列Aをとって次のように表現できる。

Th. Sylvester's law of inertia
外部リンク