微分方程式の分類

ODEとPDE，およびSDE

Def. ODE

Def. PDE

Def. SDE

線形と非線形

Def. Linear
適当な線形作用素Lでもって次の形にかける。

Def. 準線形

初期値と境界値

Def. 初期値問題（Cauchy問題）
Def. 境界値問題（Dirichlet問題）
Def. Neumann条件

発展方程式

二階線形PDE

「楕円型は平衡状態，放物型は拡散過程，双曲型は振動過程を記述している。」 (J.Jost)
「楕円型が一番性質が良い！」（某先輩のお言葉）←Dirichlet問題は変分問題の基本だからね。

楕円型 elliptic

Ex. Poisson方程式
R上の境界値問題

 
f,gがR上連続のとき，解は一意に存在する。
特に，f=0 のとき Laplace方程式 という。

放物型 parabolic

拡散方程式（熱方程式）

双曲型 hyperbolic

波動方程式

Maxwell方程式は波動方程式！

非線型方程式

Non-Linear ODE

Lorentz eq.
大気変動モデルから出てきた方程式。ローレンツアトラクタとか。

Painlevé transcendents
６本のすごいやつ。Wikipedia "Painleve transcendents"参照

Non-Linear PDE

Burgers eq.
乱流を表す方程式。

Navier-Stokes eq.
多次元Burgersに圧力項を足した方程式？