接ベクトル

方向微分としての接ベクトル

関数を食わせて，数字を吐き出す線形作用素

 : m-dim mfd.
 : pの近傍で定義された関数の全体
 が接ベクトルであるとは，
(i)  well-defined
(ii)  線形性
(iii)  Leibniz Rule
このとき  を接ベクトルという。

接ベクトルは，
1. 点pにおける方向微分係数を与える作用素(方向微分)であり，
    (方向微分)
2. 成分毎の偏微分の一般化であり，
3. 適当な偏微分の線形結合で与えられる。

4. 関数環C(p)上の線形汎関数であり，
5. C(p)をベクトル空間とみれば，C(p)上の線形形式である。
6. 1次Taylor展開を考えると
   
   従って接ベクトル  として，
   
   つまりh-方向微分とは，h方向にずらした時の関数の変化を評価している。

接ベクトルの全体は線形空間になる。
 ←C(p)の「線形」形式であることとはとりあえず無関係！

任意の接ベクトルは偏微分の線形結合であり，
偏微分は接空間の基底ベクトルになっている。

M上の各点に接空間を対応付けることで，接束(tangent bundle)を得る。

 canonical projection

ファイバーバンドルも参照
M上の各点pにTpMの元を対応付ける写像を，ベクトル場(vector field)という。

要するにMで添字付けられた作用素の族

ベクトル場は，見方を変えて次のような作用素としての特徴付けもできる。

(i) 
(ii)

ベクトル場の全体は関数環C(M)上の加群になる。

さらに写像の合成を積として多元環になり，

リー括弧積によってリー環になる。
 ← 諸事情によりLie微分とも言う。

各ベクトル場は，接束に対する切断になっている。

接ベクトルを食わせて，数字を吐き出す線形作用素

接空間の双対空間として，余接空間が考えられる。

余接空間の元を指してしばしば1-form(一次形式)と呼ぶ。

1-form は，
1. 関数の微分(接空間から接空間への写像)において，
   得られた接ベクトルをRの元とみなしたものである。

  as 
2. また，全微分の一般化であり，
に接する曲線を用いて，

3. 座標関数の微分の線形結合で表される。

4. 座標関数の微分は，ちょうど双対基底になっている。

5. 従って特に，余接空間は座標関数の微分で生成される。

Mの各点に余接空間を対応付けたものを余接束とよぶ。

 canonical projection

Mの各点に1-formを対応させる規則を一次微分形式という。

一次微分形式の全体をで表す。
A^1(M)は関数環C(p)上の加群である。

一次微分形式は，
1. 関数の微分として与えられる。(常にこのようなfが存在するわけではない。)

2. c(t)に沿う線積分を定める。

3. 特にの場合には

となって，終点と始点だけで定まる。

Th.  なる f が存在するための必要十分条件

一次微分形式のテンソル積として，高次微分形式を得る。