曲面論

曲線による定義

Def. 曲線Cに制限した微分
関数：
曲線：
始点P := C(0)
曲線Cに制限した関数f

t=0における微分係数vC(f)とおけば，

vC(f) は線形作用素

ただし，関数fに対して，座標変数による偏微分係数を対応させる偏微分作用素を以下で定義する。

Def. 曲線Cの始点Pにおける接ベクトル

ただし，標準基底を以下で定義する。

Def. 接ベクトル空間
vCはC'(0)と同一視できる。すなわち，以下の対応付けにより，

微分作用素の集合

は一次独立であり，点Pにおける任意の接ベクトルはBの線形結合で与えられる。
Span(B)を点Pにおける接ベクトル空間といい，

で表す。冒頭の対応付けによって，これはRnと同型。

Def. 余接ベクトル空間
接ベクトル空間の双対空間
すなわち，関数に対して，次のような汎関数を考えると，

dfは線形作用素であり，双対空間に関する議論から(df)Pの全体は再び線形空間になる。

このとき，次を満たす(df)P,iの集合を双対基底というが，

視察により，以下が双対基底であることが分かる。

バンドル

Def. ベクトル場
点Pを動かし，各点Pに対して接ベクトルを対応させる写像をベクトル場という。

特に，各点における接ベクトル空間の基底を対応させるベクトル場を標準ベクトル場という。

Def. １次微分形式

Prop. dfの係数
関数  に対し，以下がなりたつ。

[証明]

これを標準ベクトル場に作用させると，

一方，この左辺はとなって，題意を得る。

Cor. 
さらにPを任意に動かすことで，

一般の曲面M

M上の微分
M：2-dim Mfd.
Mの開集合U上の局所座標φ

形式的な外微分を考える

このとき，PjはU上のベクトル場であり，

各点q∈Uで一次独立なので，適当な内積を導入してTqMの正規直交基底にすることができる(Gram-Schmidt)。

eで表示したときの係数をθとする。

θはTq*M の基底になる。

R3との関係
さらに，R3の外積を用いてR3の基底を作り出すことができる。

U上の関数 
関数の微分 
内積 

Prop. ωを並べた行列は交代行列

[証明]
 を用いる。

Def. 第一基本形式 1st fundamental form

Def. 外積 Wedge product
Tq*M の基底{dx1,dx2}qに対し，
1. 
2. 
3. 
を満たす演算として外積を定義する。

Prop. 一般の1-form
f,g,h,k : U上の２変数関数