曲面論の導入

曲面の定義

Def. 曲面（砂川）
E : Euclidean Space (R3に種々の構造を入れたもの)
E⊃X subset
Xの各点pに対して，pを通る平面Xpと，Xp内のpの近傍V上定義されたなめらかな関数fで，次のものが存在するとき，Xを曲面という。
1. pを原点とし，Xpをxy平面とするxyz直交座標系において，関数fを z=f(x,y) と表したとき，
   
2. E内の点pの近傍で，以下を満たすものが存在する。
   

つまり，Xの各点pで接平面Xpがあって，さらにXはpの近傍では接空間Xp上の関数fがあって，グラフ(x,y,f(x,y))として表現できることを曲面の定義としている。

Eの開集合とXとの共通部分をXの開集合という。

平面の理論

平面の方程式（標準形）

Cor. n=(a,b,c)は法ベクトル
実際，平面の方程式を満たす点を２つとってきて，両辺を引くと，以下のようになる。




p1とp2のとり方は任意だったから，(p1-p2)は平面内の任意のベクトルを表している。
従ってnは平面内の任意のベクトルに直交する元なので，法ベクトルである。

平面の方程式（各軸上の交点が指定されている）
x軸との交点p, y軸との交点q, z軸との交点r をそれぞれ通る。

陰関数表示

点pにおける接平面の方程式

[導出（略式）]
Fの外微分において， 接平面上では dF=0 となる。

微分形式dを微小変化Δと捉えなおす。

これを開き直って平面とみなせば求める式になる。

[導出（？）]
点 pにおける接ベクトルは， の線形結合で表される。
言い換えると，接空間は以下で与えられる。

従って，点pにおける法ベクトルを考えることができて，次で与えられる。

この法ベクトルに直交する平面として，以下が得られる。

パラメータ表示

Def. 曲面のパラメータ表示
R2⊃U open
S:U→E injective.
Sのパラメータu,vによる偏微分Su,SvがUの各点で線形独立ならば X=S(U) は曲面である。
このときさらに，pにおける接空間の正体はSu,Svが張る2-dim.部分空間と同型。

Ex. 

x,y,z : R2⊃U → R smooth.

Def. 第一基本形式の係数




特に以下が成り立つ。

 単位法ベクトル

Def. ベクトル場
滑らかなベクトル値関数 φ(u,v):U→E のこと。
各点 p=S(u,v) に対してφ(u,v)が接空間TpXの元になれば接ベクトル場という。
 ただし，TpXとEを同一視している。
逆に，常に接空間（接平面）に垂直になるとき法ベクトル場という。

Def. 第二基本形式の係数

Th. Gauss曲率