有界変動と絶対連続

絶対連続 AC

1. 絶対連続 ⇒ 一様連続
2. 絶対連続 ⇒ 有界変動
3. fがR全域で微分可能で，しかもf'が有界ならば，fは絶対連続（平均値の定理）
4. a.e.で微分可能
5. L1関数の不定積分で表される。

 と表せる。

区間I=[a,b]上の関数f:R→R
Iの互いに素な部分区間 

   s.t. 

Rem.
和永先生は開区間で定義してた。
柴田先生も開区間で定義してた。

Th. 基本定理との関係(Lebesgue)
有界関数 F:[a,b]→R が絶対連続であるための必要十分条件は，
ある L可積分関数 f∈L1(a,b] の不定積分で表されることである。

さらに，このとき a.e.x∈[a,b] で以下が成り立つ。

Th. Lipschitzとの関係
絶対連続かつ微分が有界　⇒　Lipschitz

Ex. 
f(x)=x は絶対連続関数

有界変動関数 BV

区間[a,b]上の関数f:R→Rとする。
Def. 区間[a,b]の有限分割Δ

Def. 区間[a,b]におけるf(x)の全変動

where, 
Def. 区間[a,b]上の有界変動関数
V( f : [a,b] ) が有界な関数

Lem. 単調関数の全変動
単調関数の全変動は，区間 [a,b] の両端における値の差で与えられる。

Cor. 有界な単調関数は有界変動関数

Th. 

   PC1 : 区分的にC1級

Th.有界変動関数の正体
２つの単調関数の差として表される。

Th. Lebesgue
有界変動関数はa.e.で微分可能

Th. 有界閉区間上の有界変動関数ならRiemann-Stieltjes積分可能
I:BCI, g∈BV(I), f∈C(I)
このとき，gによるStieltjes積分  が存在する。

Ex. 
以下は区間[0,1]上の有界変動関数

Ex. 
以下は区間[0,1]上の有界変動関数でない