位相の各公理の関係など参考

設定

台集合

開集合系

同値な位相

閉集合系
開集合の補集合を取れば良い。

近傍系
xを含む開集合を含む部分集合



開近傍系(基本近傍系)
xを含む開集合

開核演算子と閉包演算子
Aに含まれる最大の開集合と，Aを含む最小の閉集合
あるいは，Aに含まれる開集合の和集合と，Aを含む閉集合の共通部分
  




 ←稠密な部分集合


 ←稠密な部分集合（自明）

点列の収束の例　→1点に収束しないことから，ハウスドルフでないことが分かる。
xに収束する　⇔　任意のxの近傍に対して，ある番号より先の列が含まれる。
1. 　←！！！
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

位相的性質

可算公理
基本近傍系として，特に近傍系を取れば，これは高々可算個の近傍からなる基本近傍系であるから，第1可算である。
開基としても同様に，もとの開集合系を取れば，これは高々可算個の開集合から開基であるから，第2可算である。
従って特に，可分でもある。実際，稠密な高々可算部分集合として，

をとることができる。

分離公理
「1点集合が閉集合」とは限らないので，第1分離公理ですらない。

コンパクト性
の開被覆があれば，それは自動的に有限被覆である。
従って任意の部分集合はコンパクト集合である。
特に，部分集合としてX自体を取れば，コンパクト空間（⇒局所コンパクト）である。
※一般に，位相空間の有限部分集合はコンパクトである。

連結性
開かつ閉が自明なものに限るので，連結である。
部分集合の連結性を調べるに当たって，部分位相を調べる↓

部分空間の相対位相
もとの開集合とAとの共通部分を改めて開集合にする。
※元の位相では開集合でないものが表れることに注意する。
　連結
　連結
　連結
　不連結！　←一般に分離位相は完全不連結で，その連結成分は一点集合
　連結
　連結

一般に，有限集合上の位相空間において，連結⇔弧状連結だが，
実際，以下のようにして弧( 連続写像)をつくることができる。


 
従って弧状連結である。

同相写像群
XからXへの全単射の全体は3次対称群である。
このうち連続写像であるためには，

を満たさなければならないが，これを満たすものは次の二つのみである。


これらはいずれも両連続であるから，同相写像であり，これで尽くされる。