具体的に計算するアルゴリズムを持たない解析学として，発表当時(1902)は内外から批判も受けた。
測度論が可算集合列に対して柔軟に対応できることから，積分と極限の交換に威力を発揮する。
また，測度零の定義が上手くいったこともL積分論が成功したポイント。

基本図形の測り方をどう決めるか，がLebesgue積分にどう現れるかというと，

外測度を具体的に定義してしまえば，そこから積分を構成できる。というが基本思想。
いつもできるかどうかは知らん。Stieltjes積分ならできるんじゃないの。

 という書き方には注意が必要である。
実際，測度μとして数え上げ測度をとり，台集合Ωとして自然数Nをとれば，これは  を意味する。

一般の測度の構成法

 基本図形
 基本図形の測り方

ρから外測度νを構成し，さらにνを制限して測度μを構成する。

測度論

有限加法族

i.  (←ii, iii から導くことができる。)
ii. 
iii. 

完全加法族

完全加法族

i.  (←ii, iii から導くことができる。)
ii.  ←かなりしばりの強い要請
iii. 

ここで加法とは，集合の和を積として加法群(アーベル群)になることを示す。

Aを含む最小の完全加法族

3点集合上の完全加法族

1. 
2. 
3-a. 
3-b. 
3-c. 

Rem. 
完全加法族は開集合系の公理を満たす。

測度

測度
 set
 σ-algebra on X

i. 
ii.  disjoint sets に対して，
    

外測度

外測度

i. 
ii. 
iii.  集合列に対して，
     ← disjoint sets であったとしても必ずしも等号は成り立たない。

σ有限

全空間が測度有限集合による高々可算被覆をもつこと。

可分性と類似の概念。

Rにルベーグ測度を入れればσ有限だが，数え上げ測度を入れるとσ有限にならない。

可測集合

外測度νに対し，Xの部分集合Eが以下に示す条件を満たすとき，ν-可測集合であるという。
Caratheodoryの条件

外測度の劣加法性から，≦は常に成り立つことに注意。

特に外測度としてLebesgue外測度m*を用いたときは，Lebesgue可測集合という。
Lebesgue可測集合の全体をで書く。

Borel集合族

Def. Borel集合体（-集合族，-σ加法族，-クラス）
位相空間(X,O)のボレル集合族とは，Oで生成される最小のσ加法族のことをいい，
とかあるいはなどと書く。ボレル集合族の元をボレル（可測）集合という。
Xの閉集合系をF, コンパクト集合系をKとすれば，が成り立つ。
最後の包含関係は，Xがσコンパクトのとき等号になる。

Def. σコンパクト
以下を満たす可算個のコンパクト集合列{Kn}がとれるとき，Xはσコンパクトであるという。

Th. Borel集合体の存在
Xの集合族Eに対し，Eを含む最小の完全加法族は唯一存在する。

[証明]は，Eを含む完全加法族を全て集めたものをSとして，Sの共通部分∩Sをとればよい。
Xの冪集合P(X)はEを含む（最大の）完全加法族になるから，Sは少なくとも１つの元を含むことが分かる（空でない）。
従って∩Sは意味を為す。

Def. RdのBorel集合体
通常，以下のいずれかの集合族から生成されるものを使う。
1. 基本図形（左半開区間）の全体 E
2. 通常の開集合系 O
3. 通常の閉集合系 F
4. コンパクト集合の全体 K
４つのうちどれを使っても，得られる集合体は同じである。

Def. GδとFσ
1. 可算個の開集合の共通部分として表される集合をという。
2. 可算個の閉集合の和集合として表される集合をという。

Lebesgue可測集合Mの正体
1.  ボレル集合族に零集合を付け加えた最小のσ加法族 
2. 
2. 

Borel測度

Borel測度
位相空間XのBorel集合上定義された測度μのこと。
さらに，任意のコンパクト集合Kに対して μ(K)<∞ を要請する本もある。←猪狩本

Radon測度
(Rdの場合)任意のコンパクト集合Kに対して有限値μ(K)<∞をとるボレル測度μのこと。
厳密には以下の３つを満たすBorel集合上定義された正測度のこと。
1. （狭義の）Borel測度 
2. 外正則 
3. 内正則 

Th. Radon測度の正体
区間IのRadon測度に対し，あるI上定義された右連続単調増加関数φがあって，
φによるLebesgue-Stieltjes測度と一致する。

Lebesgue測度はRadon測度である。

Lebesgue測度

Lebesgue積分

可測関数

単関数
階段関数
正値関数

可積分関数