確率変数の変換

指数分布とコーシー分布の計算 など参照

1つの確率変数の変換

z変換 z-transform, or standard transform

 {normalization, standardization} of X

Prop.
Z は 平均0 分散1

Cor.
X ~ N(μ, σ2) → Z ~ N(0, 1)
∵ 正規変数はアフィン変換しても正規変数だから

複数の確率変数の変換

標本平均

標本平均のモーメント


さらに高次モーメントについての漸近的性質(つまり極限分布)を調べたものが中心極限定理。

※大数の法則とは，標本平均が真の期待値に漸近することを保証する定理。
中心極限定理よりも弱い条件，強い意味の収束であることに注意。

Th. 大数の弱法則
平均・分散が存在すれば，i.i.d.の標本平均の極限は真の平均値に確率収束する。


i.e.

Th. 大数の強法則
平均さえ存在すれば，i.i.d.の標本平均は真の平均値に概収束(確率1で収束，almost surely)する。


i.e.

Th. 中心極限定理


i.e.

複数の正規変数の変換

すでに正規性が分かっているので，大数の法則とか中心極限定理とかは無関係であることに注意。

Lemma 標本平均のモーメント
(以下は正規性を仮定しなくても成り立つことに注意)

標本分散 
不変分散 
として，

 z-transform
 chi-square 
 t-transform

正規分布から誘導される分布

正規変数の和


 再生性
※和の分布は一般に畳み込みで計算できる。

※畳み込みは特性関数(または積率母関数，確率母関数)で計算する方が楽。

標準正規変数の比

標準正規変数の二乗

chi-square distribution


分散1で，平均が互いに異なる場合に拡張できる(noncentral chi-square dist.)
 exponential dist.

t-distribution

F-distribution

chi-distribution


 Rayleigh dist.
 Maxwell dist.