位相の入れ方

リー群リー環（行列の指数関数が活躍する）などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。

行列とベクトルの並べ替えによる線形同型
をとり，

によってノルムを定義すると，これで等距離同型(isometry)になった。わけ。

このノルムで，

によって収束を定義する。
つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから，成分毎の収束と同値。

作用素ノルムで考えてもおｋ（フロベニウスと同値な位相を誘導する）

行列ノルムの性質（劣乗法性）←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム，作用素ノルム，シャッテンノルムはおｋ

極限の基本

公式
「群演算は連続」

連続写像

 （Y は適当な位相空間。実数体，行列空間など）
「fがAで連続」という条件は，以下の３つの条件とそれぞれ同値
 点列連続
 逆像が開写像
 逆像が閉写像

例
 相似写像は連続

応用（一般線形群は開集合，特殊線形群は閉集合）


 は成分の多項式なので連続
これを使って
 左辺はKの開集合
 右辺はKの閉集合
より，それぞれ det の連続性から示される。

応用（直交行列は閉集合）

 は連続（∵転置と積の合成写像）

右辺の一点集合は閉集合であるから，fの連続性によりO(n)もMat(n, R or C)の閉集合

べき乗を計算するためのテクニック

1. 三角行列の対角成分はそのままべき乗

任意の正方行列は適当な正則行列を使って，複素数の範囲で三角化可能なので，
対角成分だけの議論ならこのテクニックでどうにかなる。

2. べき零あるいは擬周期性
 高々 k まで計算するだけ
 まず k まで計算して，あとは漸化式

不等式

行列の指数関数

全域で存在

連続性

 を用いて示される。

例

公式
1. 
2. 
    
3. 
4. 
5. 

注意（単射でない）
 だが，逆は成り立たない！
 など。この形に限るかどうかは不明

対数関数

いつ逆写像になるか？
1. 
2. 
3.  で連続
結論
 上で単射かつ双連続

注意
 のとき，