行列ノルムいろいろ

フロベニウスノルム(ベクトルと同一視した場合のノルム)

あまりおもしろくない。

フロベニウス内積から誘導されるノルムである。

ベクトルノルムの取り方次第で無数にある。

 (p=q=1) 最大絶対列和
 最大特異値
 (p=q=∞) 最大絶対行和

定理 劣乗法性
A, Bは積が定義できればサイズが異なってもよいが、
Aのrangeのノルムと、Bのimageのノルムは同じでなければならない。

特に2ノルムをとれば、以下の抑えこみを得る。

以下では、ノルムは作用素ノルムを表すこととする。

定義 固有値の絶対値の最大値

定理 作用素ノルムによる抑えこみ

特に、2ノルムをとれば、最大特異値との関係を得る。

補題 特異値との違い（劣乗法性の項参照）に注目

これはフロベニウスの定理から従う。

定理

定理 作用素ノルムと正則性の関係
正方行列Aの作用素ノルムが1未満のとき、I-Aは正則である。
実際、Aのスペクトル半径は作用素ノルムで抑えられるから、特に1より小さい。
従って1はAの固有値でないから、det|I-A|≠0。すなわち正則である。

対偶
I-A が正則でなければ、Aの作用素ノルムは1以上である。

Gershgorin circle theorem
正方行列 A の第i行ベクトルに対し、

とおく。
Aの固有値は、に含まれる。