行列式

Def. 行列式


|A|がAの行列式であるとは，次が成り立つことをいう。
1. 
2. 
3. 

Th. 
上の条件を満たす関数は唯一定まり，以下で与えられる。

ここで，SNはN次対称群。
すなわち，N次置換群の全体。
あるいは，有限集合Nの全単射の全体。

Th. 
行列式の公理のうち，(1)と(2)を満たす関数f(A)に対して，以下が成り立つ。

Th. 
行列式は転置をとっても同じ

積の行列式は，行列式の積にできる。

Def. cofactors; 余因子
行列Aのi行とj列を潰して得られる行列をとする。
Aの余因子Δijとは，次で定義される行列式である。

各成分を余因子にもつ行列を，余因子行列（adjoint）といい，adj A と書く。

Th. 余因子展開
行列Aの余因子（cofactors）Δijを用いて，行列式|A|は以下のように展開できる。
展開は行ごと，或いは列ごとに行われることに注意する。（つまり和は１つだけとる。）

Th. 余因子行列と逆行列の関係