位相の生成も参照

開集合系から近傍系へ

開集合系が与えられている場合の話し

Def. 近傍
 が x の近傍であるとは，x が N の内点になることを言う。
i.e. 

Def. 近傍系
x の近傍を全て集めたものを x の近傍系と言う。

Rem. 開近傍
特に，開集合は近傍であり，開近傍の全体は基本近傍系になる。

Th. 近傍系による開集合の特徴付け
O の任意の点 x に対して，O が x の近傍になる。
逆に，この条件を満たす部分集合は開集合である。

近傍の作り方から⇒は明らか。
逆を示す。実際，
 が  を満たすとする。
このとき，各  に対して  より，
ある  が存在して， とできる。
ここで  とおけば，作り方から で，
逆に任意の  に対して  であるから 
従って  となって，開集合であることが分かった。

近傍系の公理

 set
 が x の近傍系であるとは，
N1.  ← 逆は必ずしも成り立たない！
N2.  ← 「N∩M∋xだから入ってる」わけではない！結果としてこれが成り立つ。
N3.  ← 「M∋xだから入ってる」わけではない！結果としてこれが成り立つ。
N4. 
 ← 特に M⊂N が成り立つ。

近傍系から開集合系へ

近傍系が先に与えられた場合は，
上述の開集合と近傍の関係を逆に使って，開集合系を定義する。

Def. 開集合
 が開集合であるとは，
O の任意の点 x に対して，O が x の近傍になることを言う。
i.e. 

Def. 開集合系

とおくと，これは開集合系の公理を満たす。

Th. 開集合系と近傍系の一対一対応
上述の開集合系 O から生成される近傍系 N' は元の近傍系 N と一致する。
したがって開集合系と近傍系とは一対一に対応する。

Lem. 近傍の開核
 に対して，
 とおくと，
これは O の開集合であり，

となる。

Ex. Rnの近傍系から開集合系を構成する。

Ex. 密着位相の近傍系

Ex. 離散位相の近傍系

基本近傍系

近傍系を間引いたもの
近傍系の定める位相は，実は基本近傍系だけで定まる。
特に，関数の連続性は，基本近傍系についてのみ調べれば良い。

 が N(x) の基本近傍系(neibourhoodbase)であるとは，

近傍系を間引いたもの。通常の近傍に対するε-近傍や開近傍系に相当する。
可算集合にまで落とし込んだものは，測度論でよく使われる。

Th. 基本近傍系 → 開集合系
 x の基本近傍系

とおくと，O は開集合系を定める。

Th. 近傍系の唯一性
基本近傍系の定める位相は，その元となった近傍系の定める位相と等しくなる。
つまり，位相は基本近傍系だけ定めれば決まってしまう。
実際，基本近傍系から生成した開集合系をU，元の近傍系から生成した開集合系をOとすれば，
 に対して， より，ある  があって， 従って 
一方， に対して，ある  があって， 従って近傍系の公理から  すなわち 

Rem. 
１つの近傍系からは無数の異なる基本近傍系をつくることができる。

Ex.

Ex. 順序位相は基本近傍系の公理から定義される。

基本近傍系の公理

 set
 が基本近傍系であるとは，
1.
2.
3.