量子化された調和振動子の計算

量子化された調和振動子の問題に関連してメモ

調和振動子の古典的な力学的エネルギー


これは次の２つに分解できる。即ち，E = T + V であって，
運動エネルギー T = (1/2m)p^2
位置エネルギー V = (k/2)x^2

正準量子化（以下ではエッチバーとしてhを用いる）

※
ハミルトニアンは力学的エネルギーを与える演算子であり，
ハミルトニアンの固有方程式をシュレーディンガー方程式という。

Hの固有方程式（シュレーディンガー方程式）

１次元の調和振動子の問題では，適当な変数変換で以下に帰着できる。

これを解くには以下のような常套手段をとる。
まず|ψ|→∞の極限を考えることにより，極限の方程式

を得て，その解として を得るが，規格化条件からA=0が要請されて，結局ψ∝e^(-x^2)を得る。
これが元の方程式の解の極限となっていることを想定して，解の形を次のように仮定する。

これはx=0で正則な変数係数常微分方程式であるから，以下のような級数解が存在する。

※
変数係数方程式

が正則であるとは，各kに対して，変数係数p(x)k が解析的であることをいう。
ここで f(x) が x=a で解析的であるとは，aの適当な近傍において，f(x)が級数展開できることをいう。即ち，

φをエルミート方程式に代入して，A_n についての漸化式を得る。
  A_(n+2) = ( nの多項式 ) A_n
  A_0, A_1 は任意
ところが，φを無限級数とすると，φはe^(x^2)のオーダーとなってしまって，規格化条件を満たさない（ψ→0とならない）。
ψが収束するためには，φが有限次多項式となればよく，A_n の構造から，
  α:偶数 かつ A_1 = 0 あるいは
  α:奇数 かつ A_0 = 0
が必要十分条件になる。こうして得られる多項式をエルミート多項式という。
整数係数となるように A_0 または A_1 を調整すると，

となる。αの条件をEの条件に読み替えて，
  固有値 E_n = n + 1/2
  固有関数 ψ_n = H_n e^(-x^2)
  ただし，n≧0
を得る。（正規化は省略）