距離空間

X 台集合

A が開集合であるとは、Aの任意の点がAの内点であること。

ただし、B(x;r)は中心x半径rの開球

位相空間の場合

開球が定義できないので、開近傍に置き換えればおｋ

すなわち、Aの任意の点に対して、Aに含まれる開近傍をとることができればおｋ

Th.
Aが開集合であるための必要十分条件は、

Rの開集合

Th. Rの開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和で表される。
証明には Zornの補題を使う。

Rem.  R^2 以上では、この事実は必ずしも成り立たない。
以下が成り立つ。
Th.  R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の右半開区間の和で表される。
Th.  R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の閉区間の和で表される。