開集合系

弱い位相とは，開集合の数が少ないこと。
密着位相は最弱位相

開集合系

開集合系の公理

(X,O) が位相空間であるとは，
1.
2.
3.
このとき，OをXの開集合系といい，Oの元を開集合という。

位相は，開集合の公理，閉集合の公理，閉包作用素の公理から定義できるほか，
近傍系・開基から構成することもできる。

Ex. Aを含む最小の位相

Ex. 完全加法族は位相

開基

BがXの開基(open base)であるとは，
1.
2.
Rnの開集合は開球の任意個の和集合で与えられる。
この「開球」にあたるものが開基。つまり基本構造。
開基の任意個の和集合の全体は開集合系である。

準開基

SがXの準開基(open subbase)であるとは，
1.

開基をさらに粗くしたもの。全体でXを被覆していればよい。
準開基の有限個の共通部分の全体は開基である。

準開基 → 開集合系

※任意のに対して，を準開基とする開集合系が唯一つ存在する。

とおくと，BはXの開基

とおくと，OはXの位相