関数解析の諸定理

Arzela-Ascoliの定理

数列におけるBolzano-Weierstrassの定理（有界数列は収束部分列を含む）の，関数列版に相当する。
Cauchyの折れ線近似を証明するのに使う。
証明は対角線論法による。

Th. Arzela-Ascoli


が一様有界かつ同等連続のとき，一様収束する部分列がとれる。


ここで，
Def.一様有界

あるいは，


Def.同等連続

注. Riemann積分と極限の交換に関するArzelaの定理とは別物
Th. Arzela

fnが一様有界かつ，各点収束ならば，
極限と積分の交換が可能である。即ち，

これはLebesgueの項別積分定理の特殊系である。

Weierstrass の多項式近似定理

「近似」なので，Taylor展開よりも強力なことを言っている。
三角多項式全体は C(T) で稠密
多項式全体は C[0,1] で稠密
従って特に，それぞれ Lp (1≦p＜無限)で稠密
ただし，TはR/Z= [0,1]の0と1を同一視した集合

Stone-Weierstrassの定理

多項式近似定理の抽象化

Baire's Category

Banach-Steinhausの定理（一様有界性定理）

閉グラフ定理

開写像定理

Hahn-Banachの定理

(次元を削った)部分空間上で定義されていたら，もとの空間に上手いこと拡張できる。