Dirichlet問題と変分原理

Dirichlet原理

Dirichlet問題
Laplace(Poisson)方程式の境界値問題
 bounded open
 unknown
 boundary condition

Rem. 実際に解けるためには，f,gのクラスやΩの形状に制限が必要

Dirichletの原理
Dirichlet積分 
を最小化するようなfがDirichlet問題の解を与える。

ただし，実際には以下の制約のもとで探索する。

Poisson eq. の弱解
Dirichlet問題


fが弱解とは，次を満たすことをいう。

Th. 弱解は唯一存在する。

Th. Dirichlet問題の古典解
以下の条件のもとで，Dirichlet問題の解は唯一存在し，

Euler-Lagrangeの方程式

Dirichlet原理を一般の問題に拡張したもの。

変分問題（汎関数の停留値問題）

xに関して可測，f,pに関して微分可能
f:Ω→R に対する汎関数

を最小化するfを求めよ。

Th. Euler-Lagrange方程式
 とする。
定数a,b,cがあって，次が成り立つとする。

さらに，Hをx,f,pそれぞれについてC1級とする。
（中略）
このとき，I(f)を最小化するfは次の方程式を満たす。

Rem. 記号法について
 H(x,f,p)の各成分を全て xi の関数とみなした（fにf(x),pにDf(x)を代入したと思っても良い）ときの微分
 H(x,f,p)の f,p は無関係とみなして，x の 第i成分だけで偏微分するということ。

簡単に，

Rem. fがベクトル値関数のとき
EL方程式１本を，fの第j成分関数についてのものと読み替えればおｋ
つまり，p,fによる偏微分はそれぞれ第j成分によるものと読み替える。
結局，偏微分方程式系(PDES)になる。

Prop. Laplace eq.
Dirichlet積分に対するEL eq.がLaplace eq.である。

解析力学

運動状態は，以下の２つの変分原理によって定まる。（公理）

d'Alembertの原理（最小ポテンシャル原理）
平衡状態はポテンシャルを最小にする状態である。

Hamiltonの原理
動力学は作用積分の停留点で決定される。

Euler-Lagrange eq.
通常，作用積分に対応するEL eq.は，ラグランジアンLを導入して以下のように記述される。

Prop. T,Uが「陽に時間に依存しない」とき
エネルギー保存定理が導かれる。

Th. 波動方程式
弦の微小振動からは波動方程式が導かれる。

Th. 極小曲面方程式
膜の微小振動を考える中で，面積を最小化する必要が出てくる。