Grobner基底

背景

式を解いてから別の式に代入する
→　数値誤差とか場合分け的なものが発生する。だるい。



→ 式のまま使えたらうれしい。

ストーリー

連立方程式を「解きやすい」ものに変形する操作　＝　イデアル
　→ 根基イデアル
連立方程式の解　＝　零点集合
　→ 代数的集合
→ 零点集合（代数的集合）とイデアル（根基イデアル）の相互関係
　ザリスキ閉包，ヒルベルトの零点定理

ある多項式が単項式イデアルに入ったら，その多項式の項は全て含まれる。

「ある多項式があるイデアルに入るかどうか？」の判定法
「Gröbner基底で割った余りが０になるかどうか？」で分かる。

1. Gröbner基底の定義，Gröbner基底かどうかの判定法（Buchbergerほか），Gröbner基底の作り方，最小かつユニークなGröbner基底（被約性）
2. 割り算のアルゴリズム，そのための単項式順序（多項式の先頭を定める方法），余りの一意性
3？. 消去定理

代数的集合

K : field

An : Affine Space
Knに構造を入れたもの（ザリスキとか）

A := K[X] := K[X1,...,Xn] : polynomial ring

Prop. 体上の多項式環は整域

Def. 零点

Pがfの零点であるとは，以下が成り立つことをいう。

Def. 零点集合

Tの零点集合Z(T)とは，Tの各元に共通する零点の集合である。

Def. 代数的集合

Zが代数的集合であるとは，Zがある多項式集合Tの零点集合になることをいう。

Zariski Topology

Lem. 零点集合の性質  
S,T ⊂ K[X] とする。
1. 
2. 

Th. 代数的集合は閉集合の公理を満たす。
1. 
2. 
3. 

Def. Zariski位相
Affine Sp. An は代数的集合を閉集合とする位相空間である。
この位相をZariski位相という。

Ex. A1の閉集合
φか，A1から有限集合（φを含む）を引っこ抜いたもの。

Zのイデアル

Def. Zのイデアル
Z⊂An のイデアル I(Z) は次で定義される。

Lem. Zのイデアルの性質
Z,W ⊂ An とする。
1. 
2. I(Z) は K[X] のイデアル

Prop. 
1. Z,W ⊂ An
  
  
2. I(φ)=K[X]
3. I(An)={0} (但しKの標数∞に限る)
4. 

Zariski閉包

Prop. 
1. T⊂K[X]
  
  
2. Z⊂An
  
  

Prop. Zariski closure
Z⊂An

Hilbertの零点定理

Def. 根基 radical
R：可換環； I⊂R：イデアル
Iの根基√Iを以下で定義する。

特に，I=√I となるとき，Iを根基イデアルという。

Lem. 根基の性質
1. √I は R のイデアル
2. I⊂J ⇒ √I⊂√J
3. √I=√√I

Prop. Zのイデアルは根基イデアル
Z⊂An ⇒ I(Z)は根基イデアル

Th. Hilbertの零点定理
K=K-：代数的閉包（K係数多項式の根を全て含めた体のうち，最小のもの）
I⊂K[X]：イデアル
このとき，以下が成り立つ。

Cor. 代数的集合と根基イデアルの関係
K：代数的閉包のとき，次の全単射が存在する。
(代数的集合 Z⊂An) ⇔ (根基イデアル I⊂K[X])

単項式順序

Def. 単項式順序
Z≧0nの順序関係>が単項式順序であるとは，
1. 全順序性 
2. 加法性 
3. 整列性 
3' 降鎖条件（狭義減少列の長さは有限）
  

Ex. 辞書式順序 lexicographic order

Def. 多項式の先頭項
多項式の並べ方（つまり何が先頭か）は，単項式順序のとり方に依る。
多重指数表記 
多重次数 
先頭項 
先頭単項式 
先頭係数 

Ex. 次数付き辞書式順序 graded lexcographic order
|α|=Σαi を全次数という。

Ex. 逆辞書式順序 reverse lexcographic order
これは単項式順序でない！

Ex. 次数付き逆辞書式順序 graded reverse lexcographic order

多項式の割り算