Jordan標準形

環論の準備

イデアル
R：Ring, R⊃I: Sub Set
IがRの(左)イデアルとは，
1. 
2.  ←ここが ar なら右イデアル。可換なら両側イデアル。

イデアルの生成元
が生成するイデアルとは，次で与えられる。

(S)はSを含む最小のイデアルであり，Sを含む全てのイデアルの共通部分である。

多項式環
実数体上の多項式環  を考えることにする。
体上の多項式環はユークリッド整域である。即ち，割り算の定理が成り立つ。
さらに，素元分解整域である。（ED ⇒ PID ⇒ UFD）

Lem. 互いに素
1. 多項式f,gが互いに素とする。このとき，適当な多項式a,bがあって，
  
  とできる。
1' 上の関係式に正方行列Aを代入したものも成り立つ。
  
2. 互いに素な多項式の数を増やしても成り立つ。
  
2' 行列多項式でもおｋ

Th. PID上の多項式環は単項イデアル整域
多項式{fi(x)}の最大公約元をd(x)とする。以下が成り立つ。

最小多項式

Def. 行列の多項式
正方行列の行列多項式f(A)は因数分解と展開を自由に行うことができる。

Def. FA
正方行列を１つとって固定する。
f(A)=O となる多項式の全体をと書くことにする。

Th. Hamilton-Cayley
正方行列Aの固有多項式 Φ(λ):=det|A-λI| に対し以下が成り立つ。

即ち，

Rem. 
ここで，行列の「代入」は多項式に対して形式的に定義されたものだから，
固有多項式の定義式 det|A-λI| に直接突っ込むわけにはいかない！

Def. 最小多項式
の元で，次数が最小となるモニック多項式をAの最小多項式といい，
と書く。

Prop. 最小多項式は唯一存在する。
HC定理から，は常に空でないことが分かる。
r次の最小多項式が２つあったとして，それをf,gとする。h=f-gとおく。
hが恒等的に０でないとすれば，hの次数はr未満で，定義から h(A)=O となるが，これはf,gの最小性に反する。
よって最小多項式は唯一存在する。

Prop. FAの正体

即ち，

Cor. 最小多項式の根は全て固有値
一方，逆が成り立つ。

Th. 固有値は全て最小多項式の根

最小多項式の重複度  を標数という。
（miは代数的重複度。つまり固有多項式の重複度。）

Cor. 代数的重複度がすべて１なら 固有多項式＝最小多項式

一般固有空間

Th. Ker f(A)g(A)
互いに素な多項式 f,g に対し，f(A),g(A)をそれぞれ線形写像とみなしたとき以下が成り立つ。
 (非交和)
即ち，

Cor. 
{fi(x)}互いに素

Def. 一般固有ベクトル・一般固有空間
固有値λの標数kとする。以下を満たすvを一般固有ベクトルという。

また，一般固有ベクトルの全体に０を含めたものを一般固有空間という。

通常の固有ベクトルは一般固有ベクトルである。

Th. 全空間は常に一般固有空間の直和に分解される

[証明]
 とおく。
で，しかも{fi}は互いに素である。
従って定理より 
左辺は  より全空間Vと一致する。
右辺は定義より一般固有空間になる。
従って命題が成立する。

Cor. 半単純の判定条件
以下のいずれか（従って全て）が成り立つとき，かつそのときに限りAは半単純である。
1. 一般固有空間が固有空間になる。
2. 最小多項式が重根を持たない。
3. 相異なる固有値を並べた多項式  に対し， が成立。

Th. 一般スペクトル分解(Jordan分解)
任意の正方行列Aは半単純行列Sと冪零行列Nの和に分解できる。
ここで S,N はAの多項式で与えられ，可換であり，可換性を保つかぎり分解は一意である。
[証明]
全空間は一般固有空間に直和分解されるから，付随する射影の組が存在する。...

Cor. S,Nの構成
一般スペクトル分解 
半単純行列 
冪零行列 
一般固有空間への射影 
ただしhは部分分数展開の分子 
実は，最小多項式を固有多項式，標数kを代数的重複度mに読み替えてもおｋ

Jordan標準形

A=S+N のSは上手く座標変換すると対角化できる。
さらに上手く座標変換するとNも冪零行列の標準形にできる。
結局，例の形になる。

ステップ
1. 固有値を求める。
2. 固有ベクトルを求める。
3. 足りない分は，一般固有ベクトルで補う。
  
  
  ...
  と探していけばよい。
3' 実際には，次のようにして求める。
  
  
  ... 
4. 標準化行列 
   Jordan標準形  （Jordan細胞を若い順に左上から並べたもの）完成