ODE論

一変数だけの微分ならODE
つまり，時間の関数についての方程式はODE
回路方程式，運動方程式，etc...

微分方程式をどうやって調べるか？
ほとんどの方程式は解析的に解けない(19c末の認識)　→　位相力学的方法（Poincare）
1. 解の存在
2. 解の一意性
3. 解の連続性　←適当なパラメータ(初期値とか)依存性のこと。

基本となる例

Prop. 平均値の定理の系
I=[a,b]
f∈D(I) （←平均値の定理が使えるための条件）

特に，f'(x)=0 のとき fは定数

Cor. f'=const.
f∈D(I)

Prop. f'=f

Th. Picard-Lindelöf (詳細は「一般のODE」にある)
初期値問題
f(x):I→f(I)⊂J⊂R; unknown conti.
φ(x,y):I×J→R; bilinear


φがで有界かつ連続とする。

さらに，このyに対してリプシッツ連続とする。

このとき，x0の適当な近傍Bh(x0)で唯一の解が存在する。

線形の場合

Cauchy問題（１階線形ODEの初期値問題）(1)

Th. 線形常微分方程式の解の一意存在
pi(t)とq(t)が開区間Iで連続ならば，Iでユニークな解x(t)が存在する。

Cor. 同次方程式の基本解
q(t)=0とした方程式（同次方程式）(2)

の一般解は，n個の独立な基本解の線形結合で与えられる。

Th. 基本解の独立性判定法
n個の基本解が互いに独立
⇔ 基本解の Wronskian が０にならない。

Def. 正規形

一般のODE

解の存在する区間は，線形のときほど広くない。

初期値問題(1)

ただし、

Prop. (1) は以下の積分と同値

とりあえず(1)を積分してみれば分かる。

Th. Picardの逐次近似法
初期値問題(1)の局所解の構成法

f : C1級 とする。
関数列 {vk} を以下で定義すると，



これは区間  上で一様収束し、その極限は(1)のIδにおける局所解である。

Th. Cauchyの折れ線近似
f : 連続の場合に、初期値問題(1)の局所解の存在を示す方法（その１）
Eulerの差分法
以下の数列{u0}を考える。

点列を順に結んで得られる折れ線グラフをuεとする（Cauchyの折れ線関数）。
関数族 {} の一様有界かつ同等連続になることが示されるので、Ascoli-Alzelaの定理によって適当なεの減少列｛εj｝が取れて、関数列{}は適当な区間Iδ上で一様収束する。
得られる極限関数が局所解である。

Cor. 大域解の存在
f : Lipschitz 連続のときは、大域に拡張できる。

Th. Schauderの不動点定理
f : 連続の場合に局所解の存在を示す方法（その２）
次の積分作用素が不動点を持つことを示せばよい。

Fは適当なIδ上のコンパクト作用素になるので、Schauderの不動点定理により、少なくとも１つ不動点を持つ。

解の一意性

fがC1級のとき、初期値問題(1)の解はあれば一意。
証明には Gronwallの補題 を使う。

Cor. 解の初期値に対する連続依存性
さらに、初期値ηを解u(t;η)のパラメータとみたてると、uはt,ηの連続関数である。

Lem. Gronwallの補題