Radon-Nikodym と Lebesgue微分

Riemann積分の場合

1. 不定積分の導関数は被積分関数に一致する。
2. 導関数が連続ならば，その積分はもとの関数に一致する。

Lebesgueの微分定理

まずLebesgue積分の場合

Vitaliの被覆定理
Rdの集合族νが，Rdの集合EをVitaliの意味で被覆するとは，次が成り立つことをいう。

m*(E)<∞ のとき，閉球（開球・閉立方体・開立方体でもおｋ）からなるEのVitali被覆νをとると，
νから非交可算列{Vn}を取り出すことができて，次を満たす。

Hardy-Littlewoodの極大定理

fに対して定義される次の関数をHardy-Littlewoodの極大関数という。

Mf(x)は可測関数であり，f,a,pに依らない定数Cがあって以下の不等式が成り立つ。
1. p=1 のとき

2. 1<p<∞, 1/q+1/p=1

Lebesgueの微分定理


where, 

Def. Lebesgue点
以下を満たすxをfのLebesgue点という。

に対しては，ほとんど全ての点はL点である。

Radon-Nikodym微分

より一般の測度に拡張された微分

Th. Radon-Nikodymの定理
絶対連続な測度が、適当な関数の積分として書けるための条件（σ有限ならok）
定義（絶対連続）

定理（Radon-Nikodym）
M上のσ有限測度が絶対連続 ν<<μ の関係にあるとき，ある非負値L1関数があって、

この f を RN導関数という。

つまり，RN微分の正体は（非負値）可積分関数

Cf. 絶対連続関数
いわゆる不定積分  は絶対連続関数であり，
逆に任意の絶対連続関数は適当な可積分関数の不定積分である。 ←RN定理との類似

Rem. 積分の絶対連続性