Sobolevの埋め込み定理

弱解（内積で表現された弱方程式の解）の正則性を示すのに使う。
つまり，微分可能性とか連続性とか。
C∞ぐらい分かったら嬉しい。

内積の同値性を示すことも，状況（方程式の形）に応じて使い分けることができて嬉しい。

Lem. Hölderの系
Ω⊂Rd, 1≦p≦q≦∞
このときで，以下が成り立つ

Th. Sobolevの埋め込み定理
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
1≦p<∞ に対し，として，以下が成り立つ。
p<dのとき


p>dのとき

Cor. Poincareの不等式
ノルムの同値性を表している。
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
(p=2)に対し，

Th. Relich-Kondrachovのコンパクト性定理
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
p,d; 1≦q が以下を満たすとする。

このとき，次のコンパクト埋め込みが存在する。