Riemann-Stieltjes積分

Riemann積分と無限和の統合
f,g : 区間 [a,b]上の有界実数値関数
[a,b] の分割 Δ に対し，Darboux和の類似を考える。

where,  任意
このとき，f の g による RS積分 を以下の極限値で定義する。

Th. RS積分の存在条件
以下のいずれかの条件が成り立つとき，f の g による RS積分 が存在する。
1) f:連続かつg:有界変動
2) f:有界変動かつg:連続

Cor. R積分の存在条件
g(x) := x とすれば，f は有界変動または連続のとき R積分可能である。

Th. L積分のRS積分による表現（「ルベーグ積分は横切り」の定理）
μ : 測度
f : R→R; E上の可測関数
fのE上の分布関数

このとき，以下の成り立つことは，f∈L1(E)と同値

Lebesgue-Stieltjes積分

Radon によるStieltjes積分の一般化
Lebesgue-Stieltjes測度
φ:右連続単調増加関数 
μ:有界区間上有限なボレル測度
φとμは，以下の関係によって一対一に対応する。

これをLS測度といい，μφで表す。
μφによる積分を

と書く。

Rem. Lebesgue積分
φ(x)=x のときはL積分である。

Prop. 規格化有界変動関数への拡張
LS測度を作るφは，右連続単調増加関数にとるのが一般的であるが，
盛田『実解析と測度論の基礎』では有界変動関数まで拡張して定義していた。
Riemann-Stieltjes積分では初めからBVに対して定義する本が多いが，
盛田のLS積分の値は（だいたいの場合）ちゃんとRS積分と一致する。
ちなみに具体的な計算はRS積分の定義でないと計算できないことはLebesgue積分の常。

Th.置換積分との関係
I:有界閉区間
f:I上のボレル可測関数
φ:絶対連続
このとき，以下が成り立つ。

Th.RS積分との関係
I=[a,b]:有界閉区間
f:連続 
このとき，RS積分はLS積分に等しい。


 : 任意

Stieltjes積分と置換積分と線積分と変数変換の違い