cantor集合

Def. Cantor Set
Step1. 以下の列を定義する。



・・・
Step2. これらの共通部分をとったものを，Cantor集合という。

Prop.
1. Cantor Set の濃度は実無限に等しい。
1'. Cantor Setの点は，Cnのいづれかの端点であり，これに限る。
2. Cantor Set の測度は零。

Cor. 実無限濃度でも測度零の集合が作れる。

Prop. B.Mandlebrot 1975
Cantor Set の次元は ln3 2
∵ Cantor Set の長さを３倍すると，元の Cantor Set の相似が２つ現れるから。

Cf. 立方体の次元は３
立方体の長さを３倍すると，元の立方体の相似は２７個あらわれるので，３次元

Th. Cantor Set は Compact
証明はHeine-Borelによる。