dyadic product （外積, outer product）の性質

特異値分解と一般化逆行列も参照

あるデータ列に対する分散共分散行列なんかは，dyadic productで与えられる。

ただし， は適当な特徴空間への写像。

Definition

Def. as Tensor Product
基底を１つとって固定する。
 の成分表示を，


とおく。
このとき，x と y の Dyadic Product とは，以下で定義されるテンソル積である。

Dyadic Product の成分表示

Dyadic はまた，次のように行列として成分表示することができる。

即ち，ij成分は基底のテンソル積の係数を表している。
x y^T の形の積を，Outer Product などと呼ぶこともある。

Dyadic Product の性質

成分表示から分かるように，各行ベクトルは互いに平行である。
列ベクトルもまた互いに平行である。

任意のベクトルのy成分を取り出して，x方向に回転させる線形写像である。

従って特に，固有ベクトルはxと平行である。

Dyadic Product の行列としての rank は 1 である。

⇒ 従って有効な固有値は１個だけ。他はゼロ。
⇒ 定理により，トレースは固有値の和になるから，非零固有値は内積で与えられることが分かる。

Dyadic Product の和

 の rank は 高々min(M,n)

自分自身との Dyadic Product