nopu@wiki - 三角行列の編集

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=代数構造=
 下(上)三角行列は通常の和と積で非可換環(多元環, 代数)をなす。
 <math>U, V \in \mathrm{Upper}(n) </math>
 (i) <math>U+V \in \mathrm{Upper}(n)</math>
 (ii) <math> UV \in \mathrm{Upper}(n)</math>

'''Rem. '''
 積は非可換だが，対角成分のみに着目すれば可換であり，
 しかもそれは対角同士の積である。
 <math>\mathrm{diag}( AB ) = \mathrm{diag}( BA ) = \mathrm{diag}(A) * \mathrm{diag}(B)</math>
 
 '''Ex. '''
 <math>\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & * & * \\ 0 & a_2 b_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 b_3 \end{pmatrix}</math>

=固有値=
 '''Th. '''
 三角行列の固有値は，その対角成分である。
 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}</math> の固有値は 1, 4, 6

=Schur分解=
 任意の正方行列は、ユニタリ相似変換によって上三角行列にすることができる。
 特に，対角成分は固有値である。

<math>{}^\forall A ^in \mathrm{Mat}(n,n) {}^\exists U \in \mathrm{Uni}(n), {}^\exists S \in \mathrm{Upp}(n)</math>
 <math> \mbox{ s.t. } A = U S U^*</math>

i.e.
 任意の正方行列は
 (i) 三角化可能で、しかも
 (ii) 元の行列とユニタリ相似である。
 そして、三角行列の固有値はその対角成分であるから、
 (iii) 元の行列の固有値は三角化さえすれば求められる。

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